Descripción: La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad que expresa la probabilidad de que ocurra un número dado de eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio. Esta distribución es particularmente útil para modelar fenómenos que ocurren de manera independiente y a una tasa constante. Se caracteriza por su parámetro λ (lambda), que representa la media o el número esperado de eventos en el intervalo considerado. La función de probabilidad de la distribución de Poisson se define como P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!, donde k es el número de eventos que se desea calcular, e es la base del logaritmo natural, y k! es el factorial de k. Esta distribución es discreta, lo que significa que solo toma valores enteros no negativos. La distribución de Poisson es especialmente relevante en situaciones donde los eventos son raros en comparación con el intervalo de observación, como el número de llamadas a un centro de atención al cliente en una hora o la cantidad de errores tipográficos en un libro. Su simplicidad y capacidad para modelar eventos aleatorios la convierten en una herramienta fundamental en la estadística aplicada y en diversas disciplinas científicas.
Historia: La distribución de Poisson fue desarrollada por el matemático francés Siméon Denis Poisson en el siglo XIX, específicamente en 1837. Poisson introdujo esta distribución en el contexto de la teoría de probabilidades para modelar fenómenos que ocurren de manera aleatoria y en intervalos de tiempo o espacio fijos. Su trabajo se centró en la estadística y la teoría de errores, y la distribución de Poisson se convirtió en una herramienta clave en la investigación estadística y en la teoría de colas. A lo largo de los años, la distribución ha sido ampliamente estudiada y aplicada en diversas disciplinas, desde la biología hasta la ingeniería.
Usos: La distribución de Poisson se utiliza en una variedad de campos, incluyendo la estadística, la biología, la ingeniería y la economía. Es especialmente útil para modelar eventos raros, como el número de accidentes de tráfico en una intersección en un día, la llegada de clientes a un restaurante en una hora, o el número de fallos en un sistema de producción durante un período determinado. También se aplica en la teoría de colas para analizar el comportamiento de sistemas de espera y en la epidemiología para modelar la ocurrencia de enfermedades en poblaciones.
Ejemplos: Un ejemplo práctico de la distribución de Poisson es el número de llamadas que recibe un centro de atención telefónica en una hora. Si se sabe que, en promedio, el centro recibe 10 llamadas por hora, se puede utilizar la distribución de Poisson para calcular la probabilidad de recibir exactamente 5 llamadas en una hora. Otro ejemplo es el número de errores tipográficos en una página de un libro; si se estima que hay un error cada 1000 palabras, se puede aplicar la distribución de Poisson para determinar la probabilidad de encontrar un número específico de errores en una página dada.
