Descripción: Una progresión geométrica es una secuencia de números en la que cada término, a partir del segundo, se obtiene multiplicando el término anterior por un número fijo y no nulo, conocido como la razón común. Esta característica distintiva permite que los términos de la secuencia crezcan o decrezcan de manera exponencial, dependiendo del valor de la razón. Por ejemplo, si comenzamos con el número 2 y utilizamos una razón común de 3, la secuencia resultante sería 2, 6, 18, 54, y así sucesivamente. Las progresiones geométricas son fundamentales en matemáticas y tienen aplicaciones en diversas áreas, como la economía, la biología y la física. Su estudio permite entender fenómenos que involucran crecimiento o decrecimiento exponencial, como el interés compuesto en finanzas o la multiplicación de poblaciones en biología. Además, las progresiones geométricas pueden ser representadas mediante fórmulas matemáticas que facilitan el cálculo de términos específicos y la suma de sus elementos, lo que las convierte en herramientas valiosas para resolver problemas complejos. En resumen, la progresión geométrica es una estructura matemática que refleja patrones de crecimiento y decrecimiento, siendo esencial para el análisis y la modelización de diversas situaciones en el mundo real.
Historia: La noción de progresión geométrica se remonta a la antigüedad, con registros de su uso en civilizaciones como la babilónica y la griega. Los matemáticos griegos, como Euclides, exploraron las propiedades de las proporciones y las secuencias numéricas. Sin embargo, fue en el Renacimiento cuando se formalizó el estudio de las progresiones geométricas, gracias a la obra de matemáticos como Fibonacci y su famoso ‘Liber Abaci’ en 1202, que introdujo conceptos de secuencias numéricas en Europa. A lo largo de los siglos, el interés por las progresiones geométricas ha crecido, especialmente en el contexto de la teoría de números y el análisis matemático.
Usos: Las progresiones geométricas tienen múltiples aplicaciones en diversas disciplinas. En finanzas, se utilizan para calcular el interés compuesto, donde el capital crece de manera exponencial. En biología, modelan el crecimiento poblacional, donde las poblaciones pueden multiplicarse a un ritmo constante. También se encuentran en la física, en fenómenos como la desintegración radiactiva, donde la cantidad de material disminuye exponencialmente con el tiempo. Además, en informática, se utilizan en algoritmos de búsqueda y en la teoría de la complejidad.
Ejemplos: Un ejemplo clásico de progresión geométrica es el cálculo del interés compuesto. Si se invierte una cantidad de dinero, digamos 1000 euros, a una tasa de interés del 5% anual, el saldo después de un año sería 1000 * 1.05 = 1050 euros. Después de dos años, sería 1050 * 1.05 = 1102.50 euros, y así sucesivamente. Otro ejemplo se encuentra en la biología, donde una población de bacterias que se duplica cada hora puede ser modelada como una progresión geométrica, comenzando con una sola bacteria y creciendo exponencialmente.
